Например, Бобцов

Математическая модель эпидемии с произвольным законом восстановления

Аннотация:

Предмет исследования. В работе предложена математическая модель процесса эпидемии, учитывающая зависимость интенсивностей излечения и потери иммунитета от времени. На сегодняшний день большое распространение получили математические модели эпидемий, основанные на базовой модели Кермака–Маккендрика. Среди них наиболее известны модели «Восприимчивые–инфицированные–выздоровевшие» (Susceptible-Infected-Recovered, SIR) и «Восприимчивые–контактные–инфицированные–выздоровевшие» (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered, SEIR). Основу данных моделей составляет разбиение населения на отдельные группы, находящиеся в разных эпидемических состояниях. В основу описания моделей положены дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям рождения и гибели в процессе радиоактивных превращений элементов в радиоактивной цепочке. Однако подобный подход не учитывает зависимость вероятностей перехода населения из группы в группу от времени пребывания в процессе лечения и в процессе утрачивания приобретенного иммунитета. Известные модели не предусматривают анализ характера протекания эпидемии для больших промежутков времени, когда процесс может войти в стационарное состояние. Метод. В работе предложена математическая модель, которая основана на разбиении населения на отдельные группы. Первую группу составляют здоровые люди, подверженные инфицированию вследствие контакта с членами второй группы, в которую включается инфицированное население. Члены третьей группы находятся на лечении, к четвертой группе относятся переболевшие члены общества с антителами и привитые. Пятую группу составляют умершие члены общества. В отличие от SIR и SEIR моделей в предложенном подходе учтено, что с течением времени иммунитет утрачивается, и выжившие люди снова переходят в группу подверженных инфицированию. Учтены зависимости вероятностей перехода населения из группы в группу от времени пребывания как в процессе лечения, так и в процессе утрачивания приобретенного иммунитета. Таким образом, предложенная математическая модель основана на пяти интегро-дифференциальных уравнениях, два из которых являются уравнениями в частных производных. Основные результаты. Сформулирована новая математическая модель, позволяющая учитывать зависимость интенсивности излечения и вероятности перехода из вакцинированного состояния в исходное от времени нахождения в соответствующем состоянии. Показано, что предложенная модель носит автокаталитический характер. При увеличении времени наблюдается состояние бистабильности, когда при одних и тех же граничных условиях сосуществуют два стабильных состояния. Переключение между состояниями определяется найденным в работе управляющим параметром распространения эпидемии. Одно из стабильных состояний — стационарное и приводит к окончанию эпидемии, второе — к вымиранию популяции. Показано, что для стационарного режима вид функции распределения по времени лечения и времени выдержки в вакцинированном состоянии никак не сказывается на окончательном результате. Сформулированы условия подавления эпидемии для управления процессом ее развития. Проведены численные эксперименты по симуляции процесса распространения эпидемии с учетом постоянства всех переходных вероятностей. Интегрирование исходной системы уравнений осуществлено с использованием алгоритма Radaus для жестких дифференциальных уравнений. Результаты численного моделирования подтвердили соответствие экспериментальных данных теории управляющего параметра. Практическая значимость. Результаты работы могут применяться для организации управления процессом распространения эпидемии с целью ее скорейшего подавления за счет изменения значения управляющего параметра.

Ключевые слова:

Постоянный URL

Статьи в номере

Содержание © 1993–2024 Университет ИТМО
Разработка © 2015 Университет ИТМО